martes, 29 de abril de 2014

TRIGONOMETRÍA

La trigonometría es la rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los lados t los ángulos de los triángulos, Etimológicamente significa 'medida de triángulos'. Las primeras aplicaciones de la trigonometría se hicieron en los campos de la navegación, la geodesia y la astronomía, en los que el principal problema era determinar una distancia inaccesible, es decir, no podía ser medida de forma directa; como la que existe entre la Tierra y la Luna. Se encuentran notables aplicaciones de las funciones trigonométicas en la física y en casi todas las ramas de la ingeniería, sobre todo en el estudio de fenómenos periódicos,como el flujo de corriente alterna. Las dos ramas fundamentales de la trigonometría son la trigonometría plana y la trigonometría esférica.
Los antiguos egipcios y los babilonios conocían ya los teoremas sobre las proporciones de los lados de los triángulos semejantes. Pero las sociedades prehelénicas carecían de la noción de una medida del ángulo y por lo tanto, los lados de los triángulos se estudiaron en su medida, un campo que se podría llamar trilaterometría.
Los astrónomos babilonios llevaron registros detallados sobre la salida y puesta de las estrellas, el movimiento de los planetas y los eclipses solares y lunares, todo lo cual requiere la familiaridad con la distancia angular medida sobre la esfera celeste. Sobre la base de una interpretación de la tablilla cuneiforme Plimpton 322 (c. 1900 aC), algunos incluso han afirmado que los antiguos babilonios tenían una tabla de secantes. Hoy, sin embargo, hay un gran debate acerca de si se trata de una tabla de ternas pitagóricas, una tabla de soluciones de ecuaciones segundo grado, o una tabla trigonométrica.

"Si una pirámide es de 250 codos de alto y el lado de su base es de 360 codos de largo, ¿cuál es su Seked?"Los egipcios, en el segundo milenio antes de Cristo, utilizaban una forma primitiva de la trigonometría, para la construcción de las pirámides. El Papiro de Ahmes, escrito por el escriba egipcio Ahmes (c. 1680-1620 aC), contiene el siguiente problema relacionado con la trigonometría:

La solución, al problema, es la relación entre la mitad del lado de la base de la pirámide y su altura. En otras palabras, la medida que se encuentra para la sekedes la cotangente del ángulo que forman la base de la pirámide y su cara.

Razones trigonométricas

Trigono b00.svg
El triángulo ABC es un triángulo rectángulo en C; lo usaremos para definir las razones seno, coseno y tangente, del ángulo  \alpha \, , correspondiente al vértice A, situado en el centro de la circunferencia.
  • El seno (abreviado como sen, o sin por llamarse "sĭnus" en latín) es la razón entre el cateto opuesto sobre la hipotenusa.
\sin \, \alpha = \frac{\overline{CB}}{\overline{AB}} = \frac{a}{c}
  • El coseno (abreviado como cos) es la razón entre el cateto adyacente sobre la hipotenusa,
\cos\alpha = \frac{\overline{AC}}{\overline{AB}} = \frac{b}{c}
  • La tangente (abreviado como tan o tg) es la razón entre el cateto opuesto sobre el cateto adyacente,
\tan\alpha = \frac{\overline{CB}}{\overline{AC}} = \frac{a}{b}

Razones trigonométricas inversas

  • La Cosecante: (abreviado como csc o cosec) es la razón inversa de seno, o también su inverso multiplicativo:
\csc \alpha = \frac{1}{\sin \; \alpha} = \frac{c}{a}
En el esquema su representación geométrica es:
\csc \alpha = \overline{AG}
  • La Secante: (abreviado como sec) es la razón inversa de coseno, o también su inverso multiplicativo:
\sec \alpha = \frac{1}{\cos \; \alpha} = \frac{c}{b}
En el esquema su representación geométrica es:
\sec \alpha = \overline{AD}
  • La Cotangente: (abreviado como cot o cta) es la razón inversa de la tangente, o también su inverso multiplicativo:
\cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha} = \frac{b}{a}
En el esquema su representación geométrica es:
\cot \alpha = \overline{GF}
Normalmente se emplean las relaciones trigonométricas seno, coseno y tangente, y salvo que haya un interés específico en hablar de ellos o las expresiones matemáticas se simplifiquen mucho, los términos cosecante, secante y cotangente no suelen utilizarse.

PROBLEMA: Un faro está ubicado sobre la playa. El faro tiene una altura de 675 metros. Desde lo alto del faro y en un ángulo de depresión de 76° se divisa una embarcación. ¿A qué distancia de la base del faro se encuentra la embarcación?



1) Realiza un esquema:

 
2) Relaciona y aplica funciones trigonométricas:
Sea el ángulo A, el ángulo base, se determina:
a) Cateto Opuesto = BC = distancia = x
b) Cateto Adyacente = AB = Altura del faro = 675 metros.
c) Función trigonométrica que relaciona el cateto opuesto y el cateto adyacente es Tangente.
3) Cálculo de la distancia x:

4) Solución: La embarcación se encuentra a 2, 707.28 metros de distancia de la base del faro.

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
Una identidad trigonométrica es una igualdad entre expresiones que contienen funciones trigonométricas y es válida para todos los valores del ángulo en los que están definidas las funciones (y las operaciones aritméticas involucradas).

Relaciones básicas

Relación pitagórica\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1\,
Identidad de la razón\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}
De estas dos identidades, se puede extrapolar la siguiente tabla. Sin embargo, nótese que estas ecuaciones de conversión pueden devolver el signo incorrecto (+ ó −). Por ejemplo, si \scriptstyle\sin \theta \,=\, 1/2 la conversión propuesta en la tabla indica que \scriptstyle\cos\theta\,=\,\sqrt{1 - \sin^2\theta} = \sqrt{3}/2, aunque es posible que \scriptstyle\cos\theta \,=\, -\sqrt{3}/2. Para obtener la única respuesta correcta se necesitará saber en qué cuadrante está θ.
Funciones trigonométricas en función de las otras cinco.
En términos de \sin\! \cos\! \tan\! \cot\! \sec\! \csc\!
\sin \theta \sin \theta\ \sqrt{1 - \cos^2\theta} \frac{\tan\theta}{\sqrt{1 + \tan^2\theta}} \frac{1}{\sqrt{1+\cot^2\theta}} \frac{\sqrt{\sec^2 \theta - 1}}{\sec \theta} \frac{1}{\csc \theta}
\cos \theta \sqrt{1 - \sin^2\theta} \cos \theta\ \frac{1}{\sqrt{1 + \tan^2 \theta}} \frac{\cot \theta}{\sqrt{1 + \cot^2 \theta}} \frac{1}{\sec \theta} \frac{\sqrt{\csc^2\theta - 1}}{\csc \theta}
\tan \theta \frac{\sin\theta}{\sqrt{1 - \sin^2\theta}} \frac{\sqrt{1 - \cos^2\theta}}{\cos \theta} \tan \theta\ \frac{1}{\cot \theta} \sqrt{\sec^2\theta - 1} \frac{1}{\sqrt{\csc^2\theta - 1}}
\cot \theta {\sqrt{1 - \sin^2\theta} \over \sin \theta} {\cos \theta \over \sqrt{1 - \cos^2\theta}} \frac{1}{\tan \theta} \cot\theta\ {1 \over \sqrt{\sec^2\theta - 1}} \sqrt{\csc^2\theta - 1}
\sec \theta {1 \over \sqrt{1 - \sin^2\theta}} {1 \over \cos \theta} \sqrt{1 + \tan^2\theta} {\sqrt{1 + \cot^2\theta} \over \cot \theta} \sec\theta\ {\csc\theta \over \sqrt{\csc^2\theta - 1}}
\csc \theta {1 \over \sin \theta} {1 \over \sqrt{1 - \cos^2 \theta}} {\sqrt{1 + \tan^2\theta} \over \tan \theta} \sqrt{1 + \cot^2 \theta} {\sec \theta \over \sqrt{\sec^2\theta - 1}} \csc \theta\
EJEMPLO


Ley de Senos:
La ley de Senos es una relación de tres igualdades que siempre se cumplen entre los ángulos y lados de los triángulos. Es de suma utilidad cuando se quiere resolver ciertos tipos de problemas con triángulos, especialmente con los triángulos que carecen de ángulos rectos.

“En todo triángulo, los lados son directamente proporcionales a los senos de los ángulos opuestos”.



Donde A, B y C son los lados, y a, b, y c son los ángulos del triángulo.
Las letras minúsculas se encuentras separadas al opuesto de su letra mayúscula.

Resolución de triángulos por la ley de los Senos :

Nota: Existen problemas de triángulos que no se pueden resolver con la ley de senos. En algunos casos por los datos dados, sólo la ley de cosenos lo puede resolver.
Si un problema de triángulos te brinda como datos (2) ángulos y (1) lado, la ley usada es la de los senos. Por el contrario, si te dan (2) lados y el ángulo que hacen esos (2) lados, se usa la ley del coseno.


Problema:
Para el triángulo de la figura, C=102.3 grados, B=28.7 grados y b=27.4 metros. Encontrar los ángulos y lados restantes.






El tercer ángulo del triángulo es A = 180 - B - C = 49 grados.
Por la ley de los senos tenemos que:
Usando b = 27.4 se obtiene, a = 27.4/ Sen 28.7 x Sen 49 = 43.06 mts
Y c = 27.4/ Sen 28.7 x Sen 102.3 = 55.75 mts


Ley de Cosenos:La ley de Cosenos permite conocer cualquier lado de un triángulo, pero para llegar a ese resultado te pide que se conozcan los otros dos lados y el ángulo opuesto al lado que se quiere conocer. Esta ley, ayuda a resolver ciertos problemas con triángulos, como los triángulos que carecen de un ángulo de 90º
“En todo triángulo el cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble producto de ellos, por el coseno del ángulo que forman”

A, B, y C son los lados del triángulo, y a, b y c son los ángulos del triángulo.
Las letras minúsculas se encuentras separadas al opuesto de su letra mayúscula. Esto siempre debe realizarse de esta manera cuando se resuelve un triángulo, de lo contrario el resultado seguramente será erróneo.

La ley del Coseno solo se usa cuando se tienen los (2) lados y el ángulo que forman los lados, de lo contrario se usa la Ley de Senos.

Recuerda que para resolver uno de los ángulos internos del triángulo, la suma de los (3) ángulos dará 180º.Entonces:
c = 180º - a – b

Problema:

Encontrar los tres ángulos de un triángulo cuyos lados son a= 80 mts, b = 19 mts, c=14 mts.
Por la ley de los cosenos tenemos que:
Cos B = (1/2ac) (a2 + c2 – b2) = (1/2)(8)(14) (82 + 142 – 192) = -0.4508.

Como cos(B) es negativo, sabemos que B es un ángulo obtuso. De hecho, B = 116.80 grados.
Podemos seguir aplicando la ley de los cosenos para obtener los otros ángulos, pero es más simple usar ahora la ley de los senos, pues :
Como B es obtuso, A debe ser agudo entonces A=22.08 grados.
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